sábado, 25 de septiembre de 2010

MUESTRA INFINITA

METODOS DE MUESTREO
Es el proceso por el cual se seleccionan los individuos que formarán una muestra.
Para que se puedan obtener conclusiones fiables para la población a partir de la muestra, es importante tanto su tamaño como el modo en que han sido seleccionados los individuos que la componen.
El tamaño de la muestra depende de la precisión que se quiera conseguir en la estimación que se realice a partir de ella. Para su determinación se requieren técnicas estadísticas superiores, pero resulta sorprendente cómo, con muestras notablemente pequeñas, se pueden conseguir resultados suficientemente precisos. Por ejemplo, con muestras de unos pocos miles de personas se pueden estimar con muchísima precisión los resultados de unas votaciones en las que participarán decenas de millones de votantes.
Para seleccionar los individuos de la muestra es fundamental proceder aleatoriamente, es decir, decidir al azar qué individuos de entre toda la población forman parte de la muestra.
Si se procede como si de un sorteo se tratara, eligiendo directamente de la población sin ningún otro condicionante, el muestreo se llama aleatorio simple o irrestrictamente aleatorio.
Cuando la población se puede subdividir en clases (estratos) con características especiales, se puede muestrear de modo que el número de individuos de cada estrato en la muestra mantenga la proporción que existía en la población. Una vez fijado el número que corresponde a cada estrato, los individuos se designan aleatoriamente. Este tipo de muestreo se denomina aleatorio estratificado con asignación proporcional.
Las inferencias realizadas mediante muestras seleccionadas aleatoriamente están sujetas a errores, llamados errores de muestreo, que están controlados. Si la muestra está mal elegida —no es significativa— se producen errores sistemáticos no controlados.
  • Muestreo
El diseño de muestra o diseña de encuesta especifica el método de obtención de la muestra.
El diseño no especifica la forma de recolectar o medir los datos reales. Especifica únicamente el método de recolección de los objetos que contienen la información requerida. Estos objetos se llaman elementos.
Un elemento es un objeto del cual se toma una medición.
Los elementos pueden ocurrir individualmente o en grupos en la población. Un grupo de elementos, como una familia o una caja de cerillos se llama unidad de muestreo.
Las unidades de muestreo son colecciones disjuntas de elementos de la población. En algunos casos una unidad muestral esta constituida por un solo elemento.
Para seleccionar una muestra aleatoria de unidades de elementos muéstrales, es necesaria una lista de todas las unidades muéstrales contenidas en la población. Esta lista se le denomina marco muestral.
Un marco muetral es una lista de unidades muéstrales.
  • Sago y Error en el Muestreo
Sea el estimador muestral del parámetro poblacional. El error de estimación es la diferencia absoluta ø- ø.
  • Como Seleccionar Una Muetra Aleatoria
Al seleccionar una muestra aleatoria de n mediciones de una población infinita de N mediciones, si el muestreo se lleva a cabo de forma que todas las muestras posibles de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionadas, el muestreo se llama aleatorio y el resultado es una muestra aleatoria simple.
  • Estimación basada en una Muestra Aleatoria Simple
Al usar muestreo aleatorio simple para estimar la medida poblacional , se obtiene el siguiente estimador:
  • Estimación de la medida poblacional para un muestreo aleatorio simple
Estimador

Varianza estimada del estimador:
con
Cotas para el error estimación:


  • Estimación del Total Poblacional para una muetra aleatoria simple
Estimador:

Varianza Estimada del Estimador:

Cota para el Error de Estimación:

  • Estimación de la proporción poblacional para una muetra aleatoria simple
Estimador

Varianza estimado del estimador:
con
Cotas para el error de estimación:

En este caso y es él numero total de los elementos de la muestra que tienen determinada característica.
  • Muestreo Aleatorio Estratosférico

Una muetra aleatoria estratificada es una muetra aleatoria que se obtiene separando los elementos de la población en grupos disjuntos, llamados estratos, y seleccionando una muetra aleatoria simple dentro de cada estrato.
  • Afijacion de la Muetra para los Estratos
i=1,2,....,L
donde Ni es él numero de elementos del estrato i y

es el tamaño de la población.
  • Estimación de la Media y la Varianza de Cada Estrato


i=1,2,....,L
donde yij es la j-ésima observación del estrato i.
La varianza es un estimador de la correspondiente varianza del estrato .
El estimador de la media poblacional , basado en un muestreo aleatorio estratificado.
  • Estimación de la Media Poblacional para una Muestra Aleatoria Estratificada
Estimador

Varianza estimada del estimador:

Cotas para el error de estimación:

  • Estimador del total Poblacional para una Muestra Aleatoria Estratificada
Estimador

Varianza estimado del estimador:

Cotas para error de estimación:

  • Estimación de la Proporción Poblacional para una Muestra Aleatoria Estratificada
Estimador

Varianza estimada del estimador:

Cotas para error de estimación:

  • Muestreo por Conglomerados

Una muestra por conglomerados se obtiene seleccionando aleatoriamente un conjunto de m colecciones de elementos muéstrales, llamados conglomerados, de la población y posteriormente llevando a cabo un censo completo en cada uno de los conglomerados.

  • Estimación de la Media Poblacional en un Muestreo por Conglomerados
Estimador:

Varianza estimada del estimador:

Cotas para el error de estimación:

donde
M es él numero de conglomerados en la población y m es el numero de conglomerados en la muestra.
  • Estimación del Total Poblacional en un Muestreo por Conglomerados
Estimador:

Varianza estimada del estimador:

Cotas para el error de estimación:

  • Estimación de la Proporción Poblacional en un muestreo por Conglomerados
Estimador:

Varianza estimada del estimador:

Cotas para el error de estimación:

Cuando los tamaños de los conglomerados son iguales, es un buen estimador de la varianza real para cualquier numero m de conglomerados muéstrales. Cuando los tamaños de los conglomerados no son iguales, es un buen estimador únicamente cuando m es grande, por ejemplo .
  • Determinación del Tamaño de Muestra

Tamaño de muestra para estimar en el muestreo aleatorio simple
con
donde es la varianza poblacional, N es él numero de elementos de la población, y B en la cota para el error de estimación.
Si N es grande, la formula del tamaño de muestra se reduce.
  • Tamaño de muetra para estimar  en un muestreo aleatorio simple cuando N es muy grande

Cuando el objetivo es estimar el total poblacional , con una cota B para el error de estimación, se debe sustituir en la formula del tamaño.
  • Tamaño de muestra para la estimación de n en un muestreo aleatorio estratificado

y
donde y son, respectivamente la varianza y el tamaño del i-ésimo estrato.
El tamaño de muestra necesario para estimar el total poblacional , con una cota para el error de estimación, se obtiene sustituyendo en la ecuación.
Tamaño de muestra para la estimación de p para una muetra aleatoria estratificada cuando N es muy grande



  • Muestreo por Conglomerados

En muestreo aleatorio estratificado primero se particiona la población en estratos, y entonces se selecciona una muestra aleatoria de cada estrato. El procedimiento en el muestreo por conglomerados es al revés. Después de dividir la población en conglomerados se selecciona al azar algunos de ellos. Dentro de cada conglomerado escogido, se registran todos los elementos muéstrales. En el muestreo aleatorio estratificado las unidades muéstrales son los elementos individuales de la población, mientras que en el muestreo por conglomerados las unidades muéstrales son conglomerados de los elementos.

Otros Diseños y Procedimientos de Muestreo

  • Muestreo sistemático

Para obtener una muetra sistemática, se elige aleatoriamente un elemento dentro de los primeros k elementos del marco muestral y posteriormente se selecciona en forma sucesiva el k-ésimo elemento que sigue al ultimo que se obtuvo.
  • Estimadores de Razón
El estimador de razón es un sistema basado en la relación existente entre dos variables y y x que se miden en el mismo conjunto de elementos. Como la regresión lineal el estimador de razón usa información sobre una variable x para estimar y .
  • Muestreo por Conglomerados bi-etápico

Este se lleva acabo seleccionando una muetra aleatoria simple de conglomerados y posteriormente seleccionando una muetra aleatoria de elementos de cada uno de los conglomerados. Por lo tanto, cuando el tamaño de los conglomerados es muy grande o cuando los elementos de un conglomerados son muy similares, el muestreo de dos etapas constituye una alternativa eficiente para el muestreo por conglomerados.
  • Muestreo de respuesta aleatoria

En el muestreo de poblaciones humanas, los resultados de la investigación pueden distorsionarse a que algunos informantes se niegan a contestar todas las preguntas, o proporcionan información incorrecta.
Para llevar a cabo encuestas relacionadas con tópicos delicados, se ha creado este sistema de muestreo, y requiere que la pregunta sobre el tema delicado se acompañe de una pregunta inocua. El informante responde únicamente una de las dos preguntas seleccionadas al azar

DIAGRAMA DE ARBOL

 
Diagramas de árbol, es una herramienta gráfica para facilitar el cálculo de probabilidades.
Para la elaboración de un diagrama de árbol se parte de un nodo o punto de comienzo del que sale una rama para cada caso que pueda suceder, cada rama tiene anotada su probabilidad.
Una rama puede ser un nuevo nodo del que partan nuevas ramas o ser un nodo final, lo que representa el principio de un experimento.
La resta de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo resultado debe ser igual a 5.
La probabilidad de un suceso es la suma de todos los caminos que cumplen con el mismo.
Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados

EJEMPLOS

Una universidad tiene de tres facultades:
  • La 1ª con el 50% de estudiantes.
  • La 2ª con el 25% de estudiantes.
  • La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
Árbol con el planteamiento del problema.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
Árbol con la probabilidad de encontrar una mujer en la primera facultad.

P(alumna \ de \ la \ 1^a \ facultad) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
Árbol con la probabilidad de encontrar un varón en la universidad.

P(alumno \ var\acute{o}n) = 0,5 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4= 0,4

DISTRIBUCION BINOMIAL

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
  • En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
  • El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
  • La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por  p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A   es  1- p  y la representamos por  q .
  • El experimento consta de un número  n  de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable  X  que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n  suponiendo que se han realizado  n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener  k-éxitos  y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por  B(n,p)  siendo  n  y  p  los parámetros de dicha distribución.
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose:  0 £  p £ 1

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.
Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial
Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la v.a. Binomial

siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
El cálculo de las F(x) = p( X £x) puede resultar laborioso, por ello se  han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

AXIOMAS

Probabilidad de un evento
Las probabilidades son valores de una función de conjuntos, también llamada medida de probabilidad.
Los axiomas por si mismos no requieren demostración, pero si se va a aplicar la teoría resultante, debemos demostrar que se cumplen los axiomas cuando damos a las probabilidades un significado “real”.
Axioma 1
La probabilidad de un evento es un numero real no negativo; o sea, P(A)" 0 para cualquier subconjunto de A de S.
Axioma 2
P(S) = 1
Axioma 3
Si A1, A2, A3, …, es un secuencia finita o infinita de eventos mutuamente exclusivos de S entonces
P(A1 U A2 U A3 U …)= P(A1) + P(A2) + P(A3) + …
Los axiomas por si mismo no requieren demostración, pero si se va a aplicar la teoría resultante, debemos demostrar que se cumplen los axiomas cuando damos a las probabilidades un significado “real”.
Como las proporciones son siempre positivas o cero, el primero axioma coincide por completo con la interpretación de la frecuencia. El segundo axioma expresa indirectamente que la certeza se identifica con una probabilidad de 1 (después de todo, siempre se supone que debe ocurrir una de las posibilidades de S y es a este evento cierto que asignamos una probabilidad de 1. Hasta donde atañe a la interpretación de la frecuencia, una probabilidad de 1 implica que el evento en cuestión ocurrirá el 100% del tiempo o bien, dicho de otra manera, que ocurre con certeza.
Tomando el tercer axioma en le caso mas simple; o sea, en relación con dos eventos mutuamente exclusivos A1 y A2, se aprecia fácilmente que se cumple a través de la interpretación de la frecuencia. Si un evento ocurre, por ejemplo 28% del tiempo, otro 39% del tiempo y ambos eventos no pueden incidir en forma simultanea(o sea, que son mutuamente exclusivo), entonces uno o el otro ocurrirá 28 + 39 = 67% del tiempo. Por tanto, se cumple el tercer axioma y aplica el mismo tipo de argumento cuando hay más eventos mutuamente exclusivos.
 EJEMPLOS DE AXIOMAS 
Vamos a probarlo por inducción a"m ". Para m=2 trivialmente se verifica por quedar
la expresión del axioma ( I). Supongamos que es cierto para m y vamos a probarlo para
m+l . En virtud del lema 1, podemos suponer sin perdida de generalidad que q1, q2,...,
q,^+l son positivas.
Llarnando t=l^^ +...+ Qm+! + V^(^j^ V^ +...+ CJm+I Vm+1^ J{Q2 +•••+ qm+1^
Y^(91 vl +...+ q,,,+l um+!) ^(41 +...+ 4m+1) , se tiene
PU ^pl,..., pi-l^ (11,.... Qm^ pi+l•...^ pn ; U1,..., tti-1^ V1,..., Vrr^ ur+1•..., Lln) _
Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo


Si a cantidades iguales se les añaden cantidades iguales, las sumas resultantes también son iguales


El todo es mayor que cualquiera de sus partes


Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que pertenecen.


La probabilidad de un suceso esta entre 0 y 1


Cuando a una cosa, en calidad de sujeto, se le atribuye algo, todo lo que se dice del predicado se dirá también del sujeto


Sea X un conjunto de conjuntos no vacíos. Entonces se puede tomar un solo elemento de cada conjunto de X.


Para todo conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en X.

viernes, 24 de septiembre de 2010

EXPERIMENTO ALEATORIO

         Experimento: proceso observado o medición
•         Resultados : productos del experimento
•         Espacio muestral : conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
•         Resultado:  cada uno de los posibles componentes del espacio muestral
•         Sucesos: resultados (o combinación de resultados) que no tienen que coincidir directamente con un elemento específico del espacio muestral.

Existe incertidumbre respecto del resultado
Conocemos los posibles resultados
Imposible conocer “a priori” el resultado
En iguales condiciones los resultados obtenidos pueden ser distintos
ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento
W:  {…………………………...}

). Experimento aleatorio. Espacio muestral. Operaciones con sucesos
1. Dar dos ejemplos de experimentos aleatorios. Indica cuáles son sus sucesos
elementales.
2. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas. Si se define el
suceso A =“al menos una sea cara”, ¿de cuántos sucesos elementales consta A?
3. Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E, éste queda dividido en cuatro
partes. Haz un diagrama de Venn que recoja la situación.
Solución
Los que están en A y no en B,a, los que están en B y no en A,b, los que están en
ambos,c, y los que no están ni en A ni en B,d.
Figura 2
En el dibujo se ha indicado el número de sucesos elementales que les
corresponden.
4. Hacer un diagrama de Venn en el caso de que A = “sacar un dos” ; B = “sacar par”
5. . Si consideramos el suceso A = sacar dos cruces, al lanzar dos monedas, calcula el
complementario de A, es decir Ac .
6. Considera los conjuntos A y B del ejemplo 3. Indica cuántos elementos
tiene: el contrario de B, la unión y la intersección de A y B, y el conjunto A -
B.
7 .Se extraen dos cartas de una baraja española. Si A = “ las dos sean copas” y B = “
una sea copas y la otra rey” , calcula A B
8.Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en
extraer una bola. Si consideramos los sucesos A = “obtener número primo” y B = “
obtener múltiplo de 3” escribe los sucesos A, B, AB, AB, AA’, AA’
9. Si lanzamos un dado dos veces escribe todos los resultados posibles. ¿Cuántos de
estos sucesos componen el suceso A = “el primero salió un 6”. ¿Y si lanzáramos tres?
10. En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene
menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.
Solución
(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100
personas)
Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.
B
tienen menos de 70 años.
E
no padecen enfermedad contagiosa.
Se verifica :
card ( C
) = 50% de la población; card (E) = 80%;
card (B) =50%:

SUCESOS

Es cualquier acontecimiento que se pueda producir en la realización de un experimento (cualquiera de los elementos del conjunto de las partes del E. Muestral)
Todo resultado es un suceso
Todo suceso no es un resultado.

{Resultado1, Resultado2,..Resultado)}
Ejemplos: ¿Definir el espacio muestral?
                1) Lanzar un dado una vez
                2) Número de caras al lanzar una moneda 4 veces
                3) Que sumen 8 los puntos de un dado lanzado 2 Veces

TIPOS DE SUCESOS
o   Suceso seguro: Que salga <7 al lanzar un dado
o   Sucesos distintos: tienen algún elemento distinto
o   Sucesos iguales: están formados por los mismos elementos (siempre que ocurre uno ocurre el otro)
o   Suceso imposible: no puede ocurrir nunca
o   Sucesos complementarios: su unión es el espacio muestral
o   Sucesos disjunto incompatibles: no pueden ocurrir a la vez
o   Sucesos incluidos: si cada vez que ocurre uno ocurre el otro


Los sucesos pueden ser interpretados como conjuntos y definir sobre ellos las mismas propiedades que sobre los conjuntos

ESPACIO MUESTRAL

En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.