Las probabilidades son valores de una función de conjuntos, también llamada medida de probabilidad.
Los axiomas por si mismos no requieren demostración, pero si se va a aplicar la teoría resultante, debemos demostrar que se cumplen los axiomas cuando damos a las probabilidades un significado “real”.
Axioma 1 La probabilidad de un evento es un numero real no negativo; o sea, P(A)" 0 para cualquier subconjunto de A de S. Axioma 2 P(S) = 1 Axioma 3 Si A1, A2, A3, …, es un secuencia finita o infinita de eventos mutuamente exclusivos de S entonces P(A1 U A2 U A3 U …)= P(A1) + P(A2) + P(A3) + … |
Los axiomas por si mismo no requieren demostración, pero si se va a aplicar la teoría resultante, debemos demostrar que se cumplen los axiomas cuando damos a las probabilidades un significado “real”.
Como las proporciones son siempre positivas o cero, el primero axioma coincide por completo con la interpretación de la frecuencia. El segundo axioma expresa indirectamente que la certeza se identifica con una probabilidad de 1 (después de todo, siempre se supone que debe ocurrir una de las posibilidades de S y es a este evento cierto que asignamos una probabilidad de 1. Hasta donde atañe a la interpretación de la frecuencia, una probabilidad de 1 implica que el evento en cuestión ocurrirá el 100% del tiempo o bien, dicho de otra manera, que ocurre con certeza.
Tomando el tercer axioma en le caso mas simple; o sea, en relación con dos eventos mutuamente exclusivos A1 y A2, se aprecia fácilmente que se cumple a través de la interpretación de la frecuencia. Si un evento ocurre, por ejemplo 28% del tiempo, otro 39% del tiempo y ambos eventos no pueden incidir en forma simultanea(o sea, que son mutuamente exclusivo), entonces uno o el otro ocurrirá 28 + 39 = 67% del tiempo. Por tanto, se cumple el tercer axioma y aplica el mismo tipo de argumento cuando hay más eventos mutuamente exclusivos.
EJEMPLOS DE AXIOMAS
Vamos a probarlo por inducción a"m ". Para m=2 trivialmente se verifica por quedar
la expresión del axioma ( I). Supongamos que es cierto para m y vamos a probarlo para
m+l . En virtud del lema 1, podemos suponer sin perdida de generalidad que q1, q2,...,
q,^+l son positivas.
Llarnando t=l^^ +...+ Qm+! + V^(^j^ V^ +...+ CJm+I Vm+1^ J{Q2 +•••+ qm+1^
Y^(91 vl +...+ q,,,+l um+!) ^(41 +...+ 4m+1) , se tiene
PU ^pl,..., pi-l^ (11,.... Qm^ pi+l•...^ pn ; U1,..., tti-1^ V1,..., V►rr^ ur+1•..., Lln) _
Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo
Si a cantidades iguales se les añaden cantidades iguales, las sumas resultantes también son iguales
El todo es mayor que cualquiera de sus partes
Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que pertenecen.
La probabilidad de un suceso esta entre 0 y 1
Cuando a una cosa, en calidad de sujeto, se le atribuye algo, todo lo que se dice del predicado se dirá también del sujeto
Sea X un conjunto de conjuntos no vacíos. Entonces se puede tomar un solo elemento de cada conjunto de X.
Para todo conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en X.
Si a cantidades iguales se les añaden cantidades iguales, las sumas resultantes también son iguales
El todo es mayor que cualquiera de sus partes
Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que pertenecen.
La probabilidad de un suceso esta entre 0 y 1
Cuando a una cosa, en calidad de sujeto, se le atribuye algo, todo lo que se dice del predicado se dirá también del sujeto
Sea X un conjunto de conjuntos no vacíos. Entonces se puede tomar un solo elemento de cada conjunto de X.
Para todo conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en X.
Un axioma es sencillamente un enunciado considerado como proposición verdadera sin necesidad de demostración. Un axioma es una suposición que tomamos como verdadera. No se demuestra, es acto de fe. Es un bloque sobre el cual se empiezan a demostrar teoremas.
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